Bagaimana Faktor
Adakah penglihatan nombor atau ungkapan yang disertakan dengan arahan, "Faktor sepenuhnya, " menghalang rasa takut ke dalam hati anda? Ingin anda perhatikan algebra? Nah, pengajaran ini akan mengajar anda bagaimana untuk memaksakan sebarang nombor, atau ungkapan yang layak seperti Ax ^ 2 + Bx + C.
Langkah 1: Nombor Pemfaktoran
Pertama, apa faktornya?
"Faktor nombor semulajadi" adalah satu set lengkap bilangan keseluruhan, di mana jika anda mengalikan satu nombor dalam set oleh yang lain dalam set itu, anda akan mendapat nombor yang anda buat.
Sebagai contoh, nombor 5 mempunyai dua faktor: 1, dan 5. Nombor 6 mempunyai empat faktor: 1, 2, 3, dan 6.
"Faktor integer" termasuk nombor negatif.
Nombor 5 dalam kes ini akan mempunyai empat faktor: -5, -1, 1, dan 5. 6 akan mempunyai lapan faktor: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, dan 6.
(Nombor semulajadi adalah nombor tanpa pecahan, bermula dari 1, 2, 3, 4, 5 ... hingga ke tak terhingga. Integer adalah nombor semula jadi, dan rakan-rakan negatifnya dan 0, atau ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)
Nombor pemfaktoran dengan set nombor semulajadi adalah mudah. Setiap nombor mempunyai sekurang-kurangnya dua faktor. Untuk mencari faktor-faktor lain, mula membahagikan nombor bermula dari dua dan bekerja sehingga anda mencapai nombor yang dibahagikan dengan 2. Sebarang kuah yang tidak mempunyai sisa bermakna kedua-dua pembagi dan quotient adalah faktor nombor itu.
Katakan anda perlu faktor nombor 9. Anda tidak boleh membahagikan dengan dua sama rata, jadi kami melangkauinya. (Perhatikan penyelesaiannya, 4.5, supaya anda tahu bila berhenti kemudian.) 9 akan dibahagikan dengan 3, jadi tambah 3 pada senarai faktor anda. Jalankan jalan anda sehingga anda membahagi dengan 5 (9 dibahagi dengan 2, bulat). Anda akan berakhir dengan 1, 3 dan 9 sebagai senarai faktor.
Apabila nombor pemfaktoran dalam set integer, anda hanya boleh menambah bersamaan negatif penyelesaian anda dari pemfaktoran nombor semula jadi masuk Jadi 9 akan mempunyai faktor -9, -3, -1, 1, 3, dan 9.
Nombor negatif pemfaktoran hanya boleh dilakukan dengan pemfaktoran integer. Penyelesaiannya adalah yang sama yang anda dapat memfaktikan nombor positif nombor itu. -9 mempunyai faktor -9, -3, -1, 1, 3, dan 9.
Zero adalah satu-satunya integer yang mempunyai jumlah faktor tak terhingga, dan merupakan satu-satunya yang mempunyai sifar sebagai faktor.
Langkah 2: Memaksimumkan GCF Dari Pengecualian
Dan tidak, saya tidak bermaksud mengutarakan ungkapan bos anda seperti yang anda katakan kepadanya bahawa anda secara tidak sengaja membanjiri ruang istirahat dengan kopi.
Ungkapan algebra terdiri daripada nombor, yang dipanggil koefisien, dan pembolehubah, yang boleh dibangkitkan kepada kuasa. Dalam ungkapan x ^ 2 + 6x + 8, 1 ialah pekali x ^ 2, pembolehubah. (Jika anda tidak melihat pekali sebelum pembolehubah, ia adalah 1, kerana x ^ 2 didarab dengan 1.) Begitu juga, 6 ialah pekali x ^ 1. (Pembolehubah tunggal dibangkitkan kepada kuasa satu.) 8 dipanggil pemalar - ia tidak didarabkan oleh pembolehubah. (Anda boleh menggambarkan ia didarabkan dengan x ^ 0, dan mana-mana nombor yang dinaikkan kepada kuasa ke-0 adalah sama dengan 1).
Untuk mencetuskan ungkapan, anda perlu bermula dengan memfaktorkan GCF, atau Faktor Biasa Terbesar. Senaraikan faktor setiap komponen ungkapan tersebut. Di sini kami berminat mencari faktor nombor semula jadi.
Ungkapan x ^ 2 + 6x + 8 akan mempunyai faktor yang kelihatan seperti ini:
x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8
Jika anda melihat ketiga-tiga senarai itu, hanya satu perkara yang mereka semua berkongsi bersama, nombor satu. Ini bermakna tidak ada pekali yang lebih besar daripada satu faktor.
Kemudian anda melihat kuasa eksponen. 2, 1, dan 0. Jika anda melihat sifar, ungkapan tidak boleh dipertimbangkan oleh pembolehubah.
Ungkapan ini bersedia untuk langkah seterusnya.
Berikut adalah contoh yang mempunyai GCF yang perlu dipertimbangkan: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Faktor setiap bahagian:
2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10
Di sini kita dapat melihat bahawa bahagian mempunyai 1 dan 2 yang sama. Kami dapati bilangan terbesar, 2.
Kemudian kita melihat kuasa eksponen: 3, 2, dan 1. Cari nombor terkecil yang tidak 0, dalam hal ini nombor satu. Ini bermakna x ^ 1, atau hanya x, boleh dibahagikan kepada ungkapan.
Multiply nombor dan pembolehubah bersama untuk mendapatkan 2x. Kemudian bahagikan setiap bahagian ungkapan dengan 2x.
2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5
Ungkapan dengan GCF yang difokuskan adalah 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Perhatikan bahawa anda mesti meletakkan ungkapan yang dipertikulasikan dalam kurungan dan tulis GCF di sebelahnya.
Langkah 3: Binomial Pemfaktoran
Binomial adalah ungkapan dengan hanya dua syarat ditambah.
2x ^ 2 - 4x adalah contoh binomial. (Anda boleh mengatakan bahawa negatif 4x ditambah kepada 2x2.)
Mula-mula, fahami GCF, 2x. Anda dibiarkan dengan 2x (x - 2). Ini adalah sejauh binomial ini boleh pergi. Mana-mana binomial dalam bentuk 1x +/- n tidak boleh dipertimbangkan selanjutnya.
Apabila anda mempunyai binomial yang berubah-ubah dengan eksponen walaupun, ditambah kepada nombor negatif yang mempunyai akar kuadrat yang merupakan nombor semula jadi, ia dipanggil persegi sempurna.
x ^ 2 - 4 adalah contoh ini. Ia boleh dinyatakan sebagai hasil daripada punca kuasa dua pemboleh ubah ditambah punca kuasa dua pemalar positif, dan punca kuasa dua pembolehubah tolak akar kuadang pemalar positif.
Huh?
Pada dasarnya, ambil akar kuadrat pembolehubah. Anda akan berakhir dengan x. Kemudian root square 4. Anda akan berakhir dengan 2. Jika anda menambahnya bersama-sama, anda akan mendapat x + 2. Kurangkan mereka, dan anda akan mendapat x-2. Maju dua, dan anda akan mendapat (x + 4) (x-4). Anda hanya memfokuskan persegi sempurna.
Jika anda membiak (x + 2) (x-2) bersama-sama menggunakan FOIL, anda akan kembali menyokong x ^ 2-4.
(FOIL: First Outer Inner Last, satu cara untuk mendarabkan dua binomials bersama-sama. Multiply istilah pertama binomial (x dan x dalam kes ini), kemudian dua (x dan -2) x), maka istilah terakhir (2 dan -2), kemudian tambahkan semuanya. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)
Ini boleh dilakukan sekali lagi jika salah satu daripada binomial adalah dataran yang sempurna, seperti dalam contoh ini:
x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).
Ini boleh diambil kira lagi jika anda membawa nombor tidak rasional, lihat langkah [9].
Bagaimana faktor binomial dalam bentuk (x ^ 3 + b ^ 3):
Hanya masukkan ke dalam (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Sebagai contoh, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).
Bagaimana faktor binomial dalam bentuk (x ^ 3 - b ^ 3):
Palamkan (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Perhatikan bahawa dua tanda pertama dalam ungkapan dihidupkan.
(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).
Kedua-dua contoh boleh dipertimbangkan lagi sebaik sahaja anda belajar bagaimana faktor trinomial dalam langkah [4].
Langkah 4: Pemfaktoran Pemalsuan
Trinomial: Ungkapan dengan tiga istilah ditambah bersama. 2x ^ 2 + 6x - 8 akan menjadi penunjuk perasaan bertuah kami.
Mula-mula, fahami GCF. Ini SELALU akan menjadi langkah pertama anda apabila memfokuskan ANY ungkapan.
2 (x ^ 2 + 3x - 4)
Sekiranya anda berakhir dengan kuasa x lebih besar daripada dua selepas mengalihkan GCF, beralih ke langkah lain.
Senaraikan faktor integer pemalar. Anda akan mahu dua pasangan seperti ini:
-4, 1
-2, 2
-1, 4
Anda ingin mencari salah satu daripada ini yang apabila ditambahkan sama dengan pekali istilah kedua, 3. -1 + 4 = 3. Dari sini, tulis dua set kurungan dengan x di dalam:
(x) (x)
Kemudian tongkat dua istilah yang bekerja di dalam kurungan.
(x - 1) (x + 4)
Jangan lupa untuk menambah kembali GCF.
2 (x - 1) (x + 4)
Itulah bagaimana anda membuat faktor trinomial.
Berikut adalah satu lagi: 2x ^ 2 + 11x - 6.
Terdapat giliran kali ini: Koefisien x ^ 2 tidak 1. Ini bermakna kita akan menambah satu lagi langkah:
Senaraikan faktor pemalar, -6, serta pekali x2, 2.
-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6
1, 2
Kini, anda akan mahu melipatgandakan setiap faktor di sebelah kiri dengan 1, dan di sebelah kanan dengan 2. Ulangi dengan menukar 1 dan 2. Anda akan berakhir dengan
-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6
Cari pasangan yang menambah sehingga pekali jangka menengah, dalam kes ini, -1 + 12 = 11. Sediakan kurungan:
(x) (x)
Melekat pada nombor asal (yang anda telah mendarab dengan 1 dan 2):
(x - 1) (x + 6)
Kemudian tekan satu dan dua sebagai koefisien x supaya apabila anda membiak terma luar dan batin dan menambahkannya bersama-sama, anda akan mendapat 11.
(2x - 1) (x + 6)
Sekiranya anda menyemak kerja anda dengan MENU, anda akan berakhir dengan 2x ^ 2 + 11x - 6, ungkapan yang anda mulakan. Tahniah!
Langkah 5: Pemalsuan Pemalsuan dengan Penggantian
9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.
Tidakkah anda fikir ungkapan ini lebih mudah untuk dipertimbangkan dengan bilangan yang lebih kecil dan kuasa pembolehubah?
Anda boleh menggantikan bilangan yang lebih rendah dan kuasa ubah seperti:
Tetapkan n = 3x ^ 2 (GCF kuasa pemboleh ubah, dan punca kuasa GCF pekali nombor didarab dengan kuasa x). Kemudian masukkannya dengan membahagikan istilah dalam ungkapan asal dengan n.
n ^ 2 + 15n + 14.
Kini anda boleh dengan mudah faktor.
(n + 14) (n + 1).
Tekan 3x ^ 2 kembali ke dalam ungkapan di mana n adalah.
(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).
Langkah 6: Persamaan Kuadratik
Sekiranya tiada kombinasi yang anda dapat (dari langkah 4) tambah betul, anda perlu menggunakan persamaan kuadratik.
(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a
(sqrt (#) = root persegi #)
Di mana trinomial mempunyai bentuk ax ^ 2 + bx + c.
Jadi, jika anda ingin menggunakan formula kuadrat dengan 1x ^ 2 + 3x + 2, anda akan memasangkan seperti itu:
(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.
Ini memudahkan ke bawah (-3 +/- sqrt 17) / 2. Faktor-faktor 1x ^ 2 + 3x + 2 akan (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Anda mengekalkan jawapan di sebelah kanan "x -". Lebih lanjut mengenai mengapa itu berfungsi, dalam langkah [8].)
Langkah 7: Pemfaktoran Polynomials oleh Pengumpulan
Kadang-kadang anda akan mendapat empat atau lebih istilah, yang kelihatan seperti ini:
2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8
Tiada pekali biasa, dan pemfaktoran x ^ 2 tidak banyak membantu. Di sinilah anda akan menggunakan kumpulan untuk faktor.
Pengkelasan bermakna mengalihkan GCF hanya dua segi ungkapan. Anda dapat melihat bahawa 2x ^ 2 + 6x ^ 3 dan 5x ^ 7 + 15x ^ 8 kedua-duanya boleh mempunyai GCF yang dikeluarkan. Berbuat demikian.
2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)
Perhatikan bahawa terdapat faktor yang sama, 1 + 3x. Ungkapan ini boleh ditulis semula kepada (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). Ada jawapan awak.
Perhatikan bahawa (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) boleh difaktorkan lagi dengan mengalih keluar x ^ 2 dari binomial pertama: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).
Langkah 8: Pemfaktoran Polynomials oleh Bahagian sintetik
Kadang-kadang anda akan mendapat polinomial yang kelihatan seperti mereka tidak mempunyai harapan.
3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 adalah contoh. Anda tidak boleh menggunakan pengelompokan untuk mempromosi GCF dengan cara yang akan menghasilkan faktor yang sama.
Untuk menjelaskan bagaimana ini berfungsi, anda perlu tahu bahawa apabila menyelesaikan persamaan dengan pemfaktoran, anda perlu menetapkan perkara yang dianggap sebagai sama dengan 0 dan mengetahui apa X bersamaan supaya ia sama dengan sifar. Sebagai contoh, 0 = (x - 2) (x + 1). Penyelesaiannya adalah 2 dan -1.
Jika polinomial mempunyai pekali integer, setiap sifar, atau penyelesaian, mempunyai bentuk P / Q, di mana P = faktor jangka masa tetap, dan Q = satu faktor pekali utama.
Pada asasnya, jika anda menyenaraikan semua faktor pemalar, dan membahagikannya dengan faktor-faktor pekali utama (pekali di sebelah pembolehubah dengan kuasa tertinggi) dalam setiap kombinasi, anda akan mendapat senarai kemungkinan penyelesaian yang rasional. Bagaimana ini membantu anda faktor? Jika anda mendapat 2 sebagai penyelesaian, anda boleh bekerja mundur dan mengatakan bahawa salah satu faktor persamaan adalah (x - 2).
Jadi, kembali kepada contoh:
Faktor 2: +/- 1, +/- 2 (anda perlu memasukkan negatif)
Faktor 3: +/- 1, +/- 3
P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3
Sebaik sahaja anda mempunyai senarai anda, anda akan menggunakan sesuatu yang dipanggil bahagian sintetik untuk melihat mana yang P / Q sebenarnya penyelesaiannya.
Bahagian sintetik adalah cara membahagi polinomial dengan binomial bentuk xk. Saya tidak akan menerangkan bagaimana ia berfungsi, tetapi hanya menunjukkan cara menggunakannya untuk pemfaktoran.
Pertama, letakkan salah satu P / Q anda dalam kotak kecil atau set kurungan, kemudian senaraikan pekali dan tetap berturut-turut di sebelahnya. Jika polinomial melangkau kuasa (x ^ 2 + 2) maka anda perlu menambah 0 untuk di mana x1 sepatutnya.
(Ungkapan: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
(Abaikan asterisk, ia digunakan sebagai ruang letak. Lebih baik lagi, lihat gambar pertama.)
(1) 3 8 -9 2
Tinggalkan ruang kosong, lukiskan garisan, kemudian jatuhkan istilah pertama, 3, ke bawah.
(1) 3 8 -9 2
*** 3
Kemudian darabkannya dengan nombor di dalam kotak dan letakkannya di bawah istilah seterusnya.
(1) 3 8 -9 2
****** 3
*** 3
Tambah 8 + 3
(1) 3 8 -9 2
****** 3
*** 3 11
Multiply.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11
Tambah.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11
*** 3 11 2
Multiply.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2
Tambah.
(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2
*** 3 11 2 4
String nombor, 3, 11, 2, 4, memberi anda ungkapan dengan satu darjah kurang (jika eksponen tertinggi dalam ungkapan asal adalah 3, eksponen tertinggi dalam quotient akan menjadi 2) dan juga selebihnya.
(Pernyataan Asal: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)
Kuasa: 3x ^ 2 + 11x + 2 Remainder 4
Sekiranya anda mendapat baki, maka nombor dalam kotak yang anda cuba bukan penyelesaian untuk persamaan. Cross nombor itu dari senarai anda, dan cuba lagi dengan nombor lain. Ia cukup banyak meneka dan periksa.
Akhirnya anda akan cuba 1/3 dan anda akan mendapati ia membahagikan secara bersih. Anda akan berakhir dengan:
(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).
Sekarang anda mempunyai trinomial kuasa dua, anda boleh kembali dan faktor itu. Jangan lupa untuk mengambil GCF terlebih dahulu! Anda dibiarkan dengan (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Faktor trinomial melalui persamaan kuadratik (persamaan ini digunakan sebagai contoh dalam langkah [6], jadi rujuk kembali jika anda perlu). Anda akan berakhir dengan (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Sangat hodoh, tetapi itulah cara anda melakukannya.
Langkah 9: Pemfaktoran Lebih Lanjut: Irrationals and Imaginaries
Nombor binomial tanpa akar sempurna dikurangkan daripada pembolehubah kuasa dua seperti (x ^ 2 - 2) boleh dipertimbangkan lagi menggunakan akar persegi. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Ini membawa set nombor yang tidak rasional.
Binomial dengan nombor yang ditambah kepada pembolehubah kuasa dua seperti (x ^ 2 + 1) boleh dipertimbangkan lagi menggunakan nombor khayalan. "i" bermaksud akar kuadrat negatif. Jadi (x ^ 2 + 1) boleh diambil kira ke dalam (x + i) (x - i). Ini membawa set nombor imajiner.
Langkah 10: Huzzah!
Anda kini tahu bagaimana untuk mempengaruhi apa-apa nombor atau ungkapan yang mungkin akan anda jumpai. Baik untuk anda!
Terdapat juga program di luar sana yang boleh melakukan ini untuk anda. Jika anda google "polyroot" anda akan mendapat pautan ke beberapa program untuk komputer anda. Kalkulator grafik HP 39 / 40gs mempunyai fungsi polyroot yang dibina. Jika anda mempunyai kalkulator grafik TI-89, ia juga mempunyai fungsi pemfaktoran. Model awal grafik kalkulator TI tidak dibina, tetapi mereka mempunyai program pemfaktoran. Google "quadratic solver" untuk program yang anda boleh pindahkan ke kalkulator grafik TI anda.
Anda juga boleh mencari penyelesaian sebenar kepada persamaan kuadratik dengan menggrafkannya dan menggunakan fungsi 'sifar' untuk mengira di mana graf bersilang paksi-x. Anda kemudian boleh melekat nombor itu di sebelah "x -".
Penafian: Kebanyakan kelas matematik sama ada membenarkan kalkulator yang boleh menyebabkan faktor, atau membuat anda mengosongkan ingatan (bersama dengan program) kalkulator yang dapat diprogramkan. Selain itu, jika ada penyelesaian yang mempunyai akar tidak semulajadi di dalamnya, anda akan mendapat rentetan perpecahan panjang yang tidak sesuai sebagai jawapannya. Hanya belajar bagaimana untuk melakukannya dengan tangan.
